Effects of Rotation Matrix on AABB
물체의 이동, 크기, 회전을 적용함에 따라 AABB가 이에 맞게 변환하는 것을 구현할 생각이다. AABB는 center와 extents를 통해서 구성되는데, center에서 경계면까지의 거리를 extents라고 한다.
AABB는 Axis-Aligned Bounding Box라는 이름에 맞게 기저 축에 정렬된 충돌 박스이다. 따라서 물체가 회전하게 된다면, AABB는 회전을 하는 것이 아닌 회전에 맞게 크기가 변화된다. 이 부분에서 예상치 못한 현상이 발생한다.
\[\begin{bmatrix}a_{x}&b_{y}&c_{z}&1\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}S_{x}&0&0&0\\0&S_{y}&0&0\\0&0&S_{z}&0\\T_{x}&T_{y}&T_{z}&0\\\end{bmatrix} \tag{1}\]Scale과 Translation만 적용된 행렬과의 곱셈이다. 할 때는 문제가 발생하지 않는다. Scale이 커짐에 따라 AABB도 적절하게 크기가 커진다는 것을 간단하게 알 수 있다.
$(2)$에서 본다면 $x_{x}$는 오로지 $x$와 관련된 부분에 대해서 영향을 받는다. 다만, 여기에 회전행렬이 추가될 경우에 특정 현상이 발생한다. 회전행렬에 대해서 아래와 같이 가정해보자.
\[R =\begin{bmatrix}R_{x}&R_{x}&R_{x}&0\\R_{y}&R_{y}&R_{y}&0\\R_{z}&R_{z}&R_{z}&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix} \tag{3}\] \[\begin{bmatrix}a_{x}&b_{y}&c_{z}&1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}S_{x}R_{x}&S_{x}R_{x}&S_{x}R_{x}&0\\S_{y}R_{y}&S_{y}R_{y}&S_{y}R_{y}&0\\S_{z}R_{z}&S_{z}R_{z}&S_{z}R_{z}&0\\T_{x}&T_{y}&T_{z}&0\\\end{bmatrix} \tag{4}\]$S\times R\times T$를 하게 된다면 $(4)$와 같은 식이 만들어진다. 이렇게 된다면 계산의 결과에도 알 수 있듯이, $a_{x}$는 회전행렬에 대해서 $S_{y}R_{y}$과 $S_{z}R_{z}$의 영향도 받게 된다.
\[a'_{x} = a_{x}S_{x}R_{x} + b_{y}S_{y}R_{y} + c_{z}S_{z}R_{z} + T_{x} \tag{5}\]결과값인 $(5)$를 살펴보면, 도출된 $x$좌표가 $R$값으로 인해 다른 좌표의 영향도 받는 것을 볼 수 있다. 해당 문제가 어떻게 AABB 생성할 때 영향을 끼치는 지는 DirectXCollision.h 헤더 파일의 코드를 보면 알 수 있다.
inline void XM_CALLCONV BoundingBox::Transform(BoundingBox& Out, FXMMATRIX M) const noexcept
{
// Load center and extents.
XMVECTOR vCenter = XMLoadFloat3(&Center);
XMVECTOR vExtents = XMLoadFloat3(&Extents);
// Compute and transform the corners and find new min/max bounds.
XMVECTOR Corner = XMVectorMultiplyAdd(vExtents, g_BoxOffset[0], vCenter);
Corner = XMVector3Transform(Corner, M);
XMVECTOR Min, Max;
Min = Max = Corner;
for (size_t i = 1; i < CORNER_COUNT; ++i)
{
Corner = XMVectorMultiplyAdd(vExtents, g_BoxOffset[i], vCenter);
Corner = XMVector3Transform(Corner, M);
Min = XMVectorMin(Min, Corner);
Max = XMVectorMax(Max, Corner);
}
// Store center and extents.
XMStoreFloat3(&Out.Center, XMVectorScale(XMVectorAdd(Min, Max), 0.5f));
XMStoreFloat3(&Out.Extents, XMVectorScale(XMVectorSubtract(Max, Min), 0.5f));
}
AABB는 기본적으로 center와 extents를 통해 $\vec{corner}$를 만들어서 코너 값에다가 행렬을 곱해줌으로써 코너 값을 변형시킨다. 따라서, $(5)$과 같은 결과로 인해 코너가 물체의 범위보다 더 커지는 현상이 발생하는 것이다.
물론, 계산상에서 발생하는 문제점은 없고 해당 영향으로 인해 특정 도형이 문제가 발생한다는 점이다.
문제가 발생하는 도형은 바로 구체이다. 구체의 경우에는 회전값을 주더라도 겉으로 들어나는 변화가 없다. 하지만, AABB는 다르다. 회전 값이 추가됨에 따라 $(4)$의 계산식으로 인해 형태가 변하게 된다.
이 부분을 해결하기 위해서 $S_{x}, S_{y}, S_{z}$과 같은 구체에 대해서는 $S\times T$만이 적용된 변환행렬을 곱하는 방법이 있다. 그러나, 완벽한 해결책은 아니다.
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